円と球の空間
円と円の間の空間
同じ大きさの円を図 1 のように並べる。
図 1
3個の円の中心を結んでできる正三角形を隙間なく並べると図 1 を再現できる。
したがって，この正三角形の面積とその内部にある扇形の面積との比は，全体のその比に等しい。
図 2
正三角形の一辺を \(2a \) とする。
その高さは
\(2a \sin 60^{\circ} = 2a\displaystyle \left (\frac {\sqrt{3}}{2} \right ) = \sqrt{3}a \)
その面積は
\(S = \displaystyle \frac{1}{2}(2a)(\sqrt{3}a) \)
扇形の角度は \(60^{\circ}\)。
正三角形内に 3 個の扇形があるので，それらの全面積は
\begin{align} s &= \displaystyle \frac{\pi}{4}(2a)^2 \times \displaystyle \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3 \\ &= \displaystyle \frac{1}{2}\pi a^2 \end{align}
円が占める割合は
\begin{align} \phi &= \displaystyle \frac{s}{S}\\ &= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}\pi a^2}{\sqrt{3}a^2}\\ &= \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}\pi\\ &\fallingdotseq 0.907 \end{align}
空間が占める割合は
\begin{align} \varepsilon &= 1-\phi\\ &\fallingdotseq 1-0.907\\ &= 0.093 \end{align}
円と円の間に存在する空間の割合は 9.3%。
上式中に \(a\) は含まれない。
すなわち，円の大きさに関係せずに空間の割合が決まる。
球と球の間の空間
同じ大きさの球を図 3 のように並べる。
図 3
その上に同じ大きさの球を図 4 のように乗せる。
図 4
さらに同じ大きさの球を図 5 のように乗せる。
図 5
4 個の球 B1，A，B3，C の中心を結んでできる正方形の中心には球 B2 が位置する。
同様に球 C の中心を含む 2 個の正方形を見出すことができる。
これらによって囲まれる立方体は図 7 のように表される。
図 6
図 7
立方体内部には，頂点に 8 分の 1 の球，面心に 2 分の 1 の球が位置する。
それぞれ 8 個と 6 個であるから，1 個の立方体内部には
\(\displaystyle \frac{1}{8} \times 8 + \displaystyle \frac{1}{2} \times 6=4\)
4個の球が含まれる。
球の直径を \(2a\) とすると，球の全体積は
\begin{align} v &= \displaystyle \frac{\pi}{6}(2a)^3 \times 4\\ &= \displaystyle \frac{16\pi}{3}a^3 \end{align}
立方体の対角線の長さは \(4a\) であるから，一辺の長さは
\(\displaystyle \frac{4a}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}a\)
立方体の体積
\begin{align} V &= (2\sqrt{2}a)^3\\ &= 16\sqrt{2}a^3 \end{align}
球が占める割合（充填率）は
\begin{align} \phi &= \displaystyle \frac{v}{V}\\ &= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{16\pi}{3}a^3}{16\sqrt{2}a^3}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}\pi \\ &\fallingdotseq 0.74 \end{align}
空間が占める割合（空間率，空隙率ともいう）は
\begin{align} \varepsilon &= 1-\phi\\ &\fallingdotseq 1-0.74\\ &= 0.26 \end{align}
球と球の間に存在する空間の割合は 26%。
上式中に \(a\) は含まれない。
すなわち，球の大きさに関係せずに空間の割合が決まる。
円と球の空間
