発展6の解
-
- \(
\displaystyle
\frac{1}{d^2} = \frac{4}{3} \left( \frac{h^2+hk+k^2}{a_0^2} \right)+\frac{l^2}{c_0^2}
\tag{D6-1}
\)
-
- 式(1)の各項をそれぞれ以下のように変換する。
- \( \displaystyle
\frac {1}{d^2}
\)
- \( \displaystyle
\frac{4}{3}(h^2+hk+k^2)=X
\)
- \(
l^2=Y
\)
- \( \displaystyle
\frac{1}{a_0}=A
\)
- \( \displaystyle
\frac{1}{c_0}=C
\)
-
- その結果，式(D6-1)は
- \(
Z=AX+CY
\tag{D6-2}
\)
- と変形できる。
-
- X線回折の結果から各回折線について面間隔 \(d_i\) を求め，式(D6-2)に近似する。
- このとき，誤差は \( Z_i-(AX_i+CY_i) \) で表される。
-
- 最も確からしい回帰式を与える定数 \(A\)，\(C\) は誤差の平方和
- \(
S=\sum \{Z_i-(AX_i+CY_i) \}^2
\)
- が最小になるように選ばれる。
-
- \(S\) を \(A\)，\(C\) でそれぞれ偏微分し，\(0\) とおく。
- \begin{align}
A\sum X_i^2 + C\sum X_i Y_i &= \sum X_i Z_i\\
A\sum X_i Y_i + C\sum Y_i^2 &= \sum Y_i Z_i
\end{align}
- これらを連立して解けば，\(A\) および \(C\) を得ることができる。
-
- 連立方程式を行列に変換する。左辺の係数を係数行列とし，\(\boldsymbol{F}\) とおく。
- \(
\boldsymbol{F} =
\begin{pmatrix}
\sum X_i^2 & \sum X_i Y_i \\
\sum X_i Y_i & \sum Y_i^2
\end{pmatrix}
\)
-
- 変数 \(A\) および \(C\) を列ベクトルとし，\(\boldsymbol{G}\) とおく。
- \(
\boldsymbol{G} =
\begin{pmatrix}
A \\
C
\end{pmatrix}
\)
-
- 右辺の定数項を列ベクトルとし，\(\boldsymbol{H}\) とおく。
- \(
\boldsymbol{H} =
\begin{pmatrix}
\sum X_i Z_i \\
\sum Y_i Z_i
\end{pmatrix}
\)
-
- このように定義された行列およびベクトルによって上記の連立方程式を表現できる。
- \(
\boldsymbol{F}\boldsymbol{G} = \boldsymbol{H}
\)
- すなわち
- \(
\begin{pmatrix}
\sum X_i^2 & \sum X_i Y_i \\
\sum X_i Y_i & \sum Y_i^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A \\
C
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sum X_i Z_i \\
\sum Y_i Z_i
\end{pmatrix}
\)
-
発展6の解