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円と球の空間
円と円の間の空間
 
同じ大きさの円を図 1 のように並べる。
 
図 1
 
3個の円の中心を結んでできる正三角形を隙間なく並べると図 1 を再現できる。
したがって,この正三角形の面積とその内部にある扇形の面積との比は,全体のその比に等しい。
 
図 2
 
正三角形の一辺を \(2a \) とする。
 
その高さは
\(2a \sin 60^{\circ} = 2a\displaystyle \left (\frac {\sqrt{3}}{2} \right ) = \sqrt{3}a \)
 
その面積は
\(S = \displaystyle \frac{1}{2}(2a)(\sqrt{3}a) \)
 
扇形の角度は \(60^{\circ}\)。
正三角形内に 3 個の扇形があるので,それらの全面積は
\begin{align} s &= \displaystyle \frac{\pi}{4}(2a)^2 \times \displaystyle \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3 \\ &= \displaystyle \frac{1}{2}\pi a^2 \end{align}
 
円が占める割合は
\begin{align} \phi &= \displaystyle \frac{s}{S}\\ &= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}\pi a^2}{\sqrt{3}a^2}\\ &= \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}\pi\\ &\fallingdotseq 0.907 \end{align}
 
空間が占める割合は
\begin{align} \varepsilon &= 1-\phi\\ &\fallingdotseq 1-0.907\\ &= 0.093 \end{align}
 
円と円の間に存在する空間の割合は 9.3%。
 
上式中に \(a\) は含まれない。
すなわち,円の大きさに関係せずに空間の割合が決まる。
 
球と球の間の空間
 
同じ大きさの球を図 3 のように並べる。
 
図 3
 
その上に同じ大きさの球を図 4 のように乗せる。
 
図 4
 
さらに同じ大きさの球を図 5 のように乗せる。
 
図 5
 
4 個の球 B1,A,B3,C の中心を結んでできる正方形の中心には球 B2 が位置する。
同様に球 C の中心を含む 2 個の正方形を見出すことができる。
これらによって囲まれる立方体は図 7 のように表される。
 
図 6
 
図 7
 
立方体内部には,頂点に 8 分の 1 の球,面心に 2 分の 1 の球が位置する。
それぞれ 8 個と 6 個であるから,1 個の立方体内部には
\(\displaystyle \frac{1}{8} \times 8 + \displaystyle \frac{1}{2} \times 6=4\)
4個の球が含まれる。
 
球の直径を \(2a\) とすると,球の全体積は
\begin{align} v &= \displaystyle \frac{\pi}{6}(2a)^3 \times 4\\ &= \displaystyle \frac{16\pi}{3}a^3 \end{align}
 
立方体の対角線の長さは \(4a\) であるから,一辺の長さは
\(\displaystyle \frac{4a}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}a\)
 
立方体の体積
\begin{align} V &= (2\sqrt{2}a)^3\\ &= 16\sqrt{2}a^3 \end{align}
 
球が占める割合(充填率)は
\begin{align} \phi &= \displaystyle \frac{v}{V}\\ &= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{16\pi}{3}a^3}{16\sqrt{2}a^3}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}\pi \\ &\fallingdotseq 0.74 \end{align}
 
空間が占める割合(空間率,空隙率ともいう)は
\begin{align} \varepsilon &= 1-\phi\\ &\fallingdotseq 1-0.74\\ &= 0.26 \end{align}
 
球と球の間に存在する空間の割合は 26%。
 
上式中に \(a\) は含まれない。
すなわち,球の大きさに関係せずに空間の割合が決まる。
円と球の空間